在数学中，映射的限制
f
{\displaystyle f}
是一个新的映射，记作
f
|
A
{\displaystyle f\vert _{A}}
或者
f
↾
A
{\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}
，它是通过为原来的映射
f
{\displaystyle f}
选择一个更小的定义域
A
{\displaystyle A}
来得到的。反过来，也称映射
f
{\displaystyle f}
是映射
f
|
A
{\displaystyle f\vert _{A}}
的扩张。
此条目可参照日语维基百科相应条目来扩充。
Remove ads正式定义
设
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\to F}
是一个集合
E
{\displaystyle E}
到集合
F
{\displaystyle F}
的映射。如果
A
{\displaystyle A}
是
E
{\displaystyle E}
的子集，那么称满足
∀
x
∈
A
,
f
|
A
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)}
的映射[1]
f
|
A
:
A
→
F
{\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}
是映射
f
{\displaystyle f}
在
A
{\displaystyle A}
上的限制。不正式地说，
f
|
A
{\displaystyle {f|}_{A}}
是和
f
{\displaystyle f}
相同的映射，但只定义在
A
{\displaystyle A}
上。
如果将映射
f
{\displaystyle f}
看作一种在笛卡尔积
E
×
F
{\displaystyle E\times F}
上的关系
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
，然后
f
{\displaystyle f}
在
A
{\displaystyle A}
上的限制可以用它的图像来表示：
G
(
f
|
A
)
=
{
(
x
,
f
(
x
)
)
∈
G
(
f
)
:
x
∈
A
}
=
G
(
f
)
∩
(
A
×
F
)
,
{\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}
其中
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
表示图像
G
{\displaystyle G}
中的有序对。
Remove ads扩张
映射
F
{\displaystyle F}
称为另一映射的
f
{\displaystyle f}
的扩张，当且仅当
F
|
Dom
(
f
)
=
f
{\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f}
。也就是说同时满足下面两个条件：
属于
f
{\displaystyle f}
之定义域的
x
{\displaystyle x}
必然也在
F
{\displaystyle F}
的定义域中，即
Dom
(
f
)
⊆
Dom
(
F
)
{\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)}
；
f
{\displaystyle f}
和
F
{\displaystyle F}
在它们共同的定义域上的行为相同，即
∀
x
∈
Dom
(
f
)
,
f
(
x
)
=
F
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)}
。
Remove ads具有特定性质的扩张
数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射
f
{\displaystyle f}
的扩张映射
F
{\displaystyle F}
，且
F
{\displaystyle F}
仍是线性的，这时说
F
{\displaystyle F}
是
f
{\displaystyle f}
的一个线性扩张，或者说；寻找一个连续映射
f
{\displaystyle f}
的扩张映射
F
{\displaystyle F}
，且
F
{\displaystyle F}
仍连续，则称为进行了连续扩张；诸如此类。
具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射
F
{\displaystyle F}
的详细定义，如稠密子集到豪斯多夫空间的映射的连续扩张。
例子
非单射函数
f
:
R
→
R
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}}
在域
R
+
=
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}
上的限制是
f
:
R
+
→
R
,
x
↦
x
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}
，而这是一个单射。
将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移
1
{\displaystyle 1}
，就得到阶乘函数：
Γ
|
Z
+
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}
。
Remove ads限制的性质
映射
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\rightarrow Y}
在其整个定义域
X
{\displaystyle X}
上的限制即是原函数，即
f
|
X
=
f
{\displaystyle f|_{X}=f}
。
对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若
A
⊆
B
⊆
Dom
(
f
)
{\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)}
，则
(
f
|
B
)
|
A
=
f
|
A
{\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}}
。
集合
X
{\displaystyle X}
上的恒等映射在集合
A
{\displaystyle A}
上的限制即是
A
{\displaystyle A}
到
X
{\displaystyle X}
的包含映射。[2]
连续函数的限制是连续的。[3] [4]
Remove ads应用
反函数
更多信息：反函数
定义域为
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的函数
x
2
{\displaystyle x^{2}}
没有反函数。若考虑
x
2
{\displaystyle x^{2}}
到非负实数的限制，则它有一个反函数，称为平方根
x
{\displaystyle x}
。
若某函数存在反函数，其映射必为单射。若映射
f
{\displaystyle f}
非单射，可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如：
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
因为
x
2
=
(
−
x
)
2
{\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}
，故非单射。但若将定义域限制到
x
≥
0
{\displaystyle x\geq {0}}
时该映射为单射，此时有反函数
f
−
1
(
y
)
=
y
{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}
（若限制定义域至
x
≤
0
{\displaystyle x\leq {0}}
，输出
y
{\displaystyle y}
的负平方根的函数为反函数。）另外，若允许反函数为多值函数，则无需限制原函数的定义域。
Remove ads粘接引理
更多信息：粘接引理（英语：Pasting lemma）
点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。
设拓扑空间
A
{\displaystyle A}
的子集
X
,
Y
{\displaystyle X,\ Y}
同时为开或闭，且满足
A
=
X
∪
Y
{\displaystyle A=X\cup {Y}}
，设
B
{\displaystyle B}
为拓扑空间。若映射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to {B}}
到
X
{\displaystyle X}
及
Y
{\displaystyle Y}
的限制都连续，则
f
{\displaystyle f}
也是连续的。
基于此结论，粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数，可以得到一个新的连续函数。
Remove ads层
主条目：层 (数学)
层将函数的限制推广到其他物件的限制。
层论中，拓扑空间
X
{\displaystyle X}
的每个开集
U
{\displaystyle U}
，有另一个范畴中的物件
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
与之对应，其中要求
F
{\displaystyle F}
满足某些性质。最重要的性质是，若一个开集包含另一个开集，则对应的两个物件之间有限制态射，即若
V
⊆
U
{\displaystyle V\subseteq U}
，则有态射
r
e
s
V
,
U
:
F
(
U
)
→
F
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}
，且该些态射应仿照函数的限制，满足下列条件：
对
X
{\displaystyle X}
的每个开集
U
{\displaystyle U}
，限制态射
r
e
s
U
,
U
:
F
(
U
)
→
F
(
U
)
{\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}
为
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
上的恒等态射。
若有三个开集
W
⊆
V
⊆
U
{\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}
，则复合
r
e
s
W
,
V
∘
r
e
s
V
,
U
=
r
e
s
W
,
U
{\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}}
。
（局部性）若
(
U
i
)
{\displaystyle (U_{i})}
为某个开集
U
{\displaystyle U}
的开覆盖，且
s
,
t
∈
F
(
U
)
{\displaystyle s,t\in F(U)}
满足：对所有
i
{\displaystyle i}
，
s
↾
U
i
=
t
↾
U
i
{\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}}
，则
s
=
t
{\displaystyle s=t}
。
（黏合) 若
(
U
i
)
{\displaystyle (U_{i})}
为某个开集
U
{\displaystyle U}
的开覆盖，且对每个
i
{\displaystyle i}
，给定截面
s
i
∈
F
(
U
i
)
{\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})}
，使得对任意两个
i
,
j
{\displaystyle i,j}
，都有
s
i
,
s
j
{\displaystyle s_{i},s_{j}}
在定义域重叠部分重合（即
s
i
↾
U
i
∩
U
j
=
s
j
↾
U
i
∩
U
j
{\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}}
），则存在截面
s
∈
F
(
U
)
{\displaystyle s\in F(U)}
使得对所有
i
{\displaystyle i}
，
s
↾
U
i
=
s
i
{\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}}
。
所谓拓扑空间
X
{\displaystyle X}
上的层，就是该些物件
F
(
U
)
{\displaystyle F(U)}
和态射
r
e
s
V
,
U
{\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}}
组成的整体
(
F
,
r
e
s
)
{\displaystyle (F,\mathrm {res} )}
。若仅满足前两项条件，则称为预层。
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